06年GCT考试逻辑辅导教材--第二章(4)

三、命题逻辑的相关知识及其运用

2．负复合命题的等值命题

（复合）命题A和（复合）命题B等值，是指它们具有相同的逻辑值，即具有相同的真值表。

例如：“p并且q”和“p或者q”不等值，因为它们具有如下不同的真值表：

p
q
pÙq
pÚq

真
真
真
真

真
假
假
真

假
真
假
真

假
假
假
假

但“p并且q”和“并非：如果p，则非q”等值，因为它们具有相同的真值表：

p
q
pÙq
Ø（p®Øq）

真
真
真
Ø（真®Ø真）= 真

真
假
假
Ø（真®Ø假）= 假

假
真
假
Ø（假®Ø真）= 假

假
假
假
Ø（假®Ø假）= 假

[思考]

写出和“只有p，才q”等值的公式（其中只出现p、q、Ø、«、®、Ú和∧）(北京安通学校提供)

解：

“只有p，才q”的意思是：p是q的必要条件，即如果无p，则无q。因此，“只有p，才q”可表示为“Ø p ®Øq”，可用真值表验证，二者是等值的。（真值计算过程略）

p
q
只有p，才q
Øp®Øq

真
真
真
真

真
假
真
真

假
真
假
假

假
假
真
真

[思考]

写出和“要么p，要么q”等值的命题公式（其中只出现p、q、Ø、«、®、Ú和∧）

解：

“要么p，要么q”的意思可表示为：p真q假或者p假q真；也可以表示为：p和q至少有一真，但不能都真。因此，“要么p，要么q”可表示为“（p∧Ø q）Ú（Ø p∧q）”，也可表示为“（pÚq）∧Ø（p∧q）”。可验证三者是等值的。

p
q
要么p，要么q
（p∧Ø q）Ú（Ø p∧q）
（pÚq）∧Ø（p∧q）

真
真
假
假
假

真
假
真
真
真

假
真
真
真
真

假
假
假
假
假

[思考]

证明：“ pÚq” 和 “Øp®q”等值。(北京安通学校提供)

解答：可用真值表验证：

p
q
pÚq
Øp®q

真
真
真
真

真
假
真
真

假
真
真
真

假
假
假
假

“ pÚq” 和 “Øp®q”等值，是个重要的结论，在应试中多有运用。

“ pÚq” 等值于 “Øp®q”，在直观上也是显然的。例如，“今年暑假我或者去张家界，或者去北戴河”，显然等于：“如果今年暑假我不去张家界，那一定去北戴河”。

负命题所否定的命题可以是原子命题，也可以是复合命题。(北京安通学校提供)

上面讨论了7种复合命题，现在讨论这7种复合命题的等值命题。

负联言命题的等值命题：

“并非：p并且q”，等值于“非p或者非q”。即

Ø（pÙq）«（ØpÚØq）

例如：

“并非：小张既高又胖”，等值于“小张不高或者小张不胖” 。

负相容选言命题的等值命题：

“并非：p或者q”，等值于“非p并且非q”。即

Ø（pÚq）«（ØpÙØq）

例如：

“并非：小张失约或者他没有接到通知”，等值于“小张没有失约并且他接到了通知”。

以上两个等值式，称为德摩根律，即

Ø（pÙq）«（ØpÚØq）

Ø（pÚq）«（ØpÙØq）

德摩根律在应试中有重要运用。

负不相容选言命题的等值命题：

“并非：要么p要么q”，等值于“p并且q，或者，非p并且非q”。即

Ø（要么p，要么q）«（（pÙq）Ú（ØpÙØq））